• آموزش

بهینه­ سازی

تلاش برای دستیابی به بهترین نتیجه در مورد یک عملیات با در نظر گرفتن محدودیت­ها و شرایط مسئله، بهینه­ سازی نامیده می ­شود. به بیان دیگر بهینه­ سازی کمینه­ کردن یک کمیت غیرمطلوب، یا بیشینه­ کردن یک کمیت مطلوب بر مبنای محدودیت­ ها و منابع در دست می ­باشد.

دسته­ بندی­ های متفاوتی برای مسائل بهینه­ سازی وجود دارد. طراحی بهینه در یک نگاه استفاده موثر از منابع به منظور طراحی همه جانبه یک سیستم، جهت دستیابی به اهداف مورد نظر می­ باشد، بدون آنکه به عملکرد مطلوب سیستم خدشه­ ای وارد گردد.

منظور از طراحی همه­ جانبه، طراحی است که در آن تمامی جنبه­ های اقتصادی- فنی در نظر گرفته شده و در عین حال کارایی مطلوب و مورد نظر سیستم از چشم طراح دور نمانده باشد. بنابراین ممکن است طراحی یک سیستم برای یک کاربرد و شرایط معین بهینه باشد در حالی که آن طراحی برای همان سیستم در شرایط و کاربرد متفاوت دیگر بهینه نباشد. براي شناخت يک پديده دو راه استفاده از تئوري ­هاي علمي و انجام آزمايشات وجود دارد که راه جايگزين براي جبران کمبود تئوري­ هاي علمي، انجام آزمايش است.

بهینه­ سازی به روش سطح پاسخ[1]

روش سطح پاسخ (RSM) در سال 1951، جهت بهبود فرآیندهای شیمیایی ارائه شد. هدف، بهینه‌سازی فرآیندهای شیمیایی و دستیابی به خروجی­ هایی از قبیل بازده و خلوص بالاتر و هزینه­ ی پایین ­تر می­ باشد. همچنین متغیرها در فرآیندهای شیمیایی معمولاً دما، فشار و زمان فرآیند است.

روش سطح پاسخ مجموعه ­ای از تکنیک­های آماری و ریاضی است که کاربرد آن برای مدلسازی و تحلیل مسائلی می­ باشد که یک پاسخ خروجی مورد نظر تحت تأثیر چندین متغیر مستقل دیگر قرار داشته و به مقدار بهینه­ برسد. واژه ­ی سطح پاسخ نشان می­ دهد که تغییرات پاسخ در قبال متغیرهای کنترلی را باید مدنظر گرفت. تعریف سطح پاسخ را می­ توان برای یک آزمایش با P فاکتور به صورت یک نمودار در فضای (P+1) بعدی نشان داد. به عنوان مثال در شکل زیر یک نمونه با دو متغیر مستقل x₁ و x₂ و متغیر وابسته y (پاسخ) که تابعی از x₁ و x₂ است، نمایش داده شده است.

شکل1: رویه پاسخ برای یک نمونه با دو متغیر ورودی

روش سطح پاسخ نقاط نمونه را در فضای متغیرهای ورودی تصادفی طوری قرار می‌دهد که تابع مناسب تقریبی برای آن یافت شود. اساساً این تابع یک تابع چند جمله‌ای درجه‌ي دوم است.

در این رابطه تابع تخمینی به صورت رابطه زیر تعیین می‌شود.

که در رابطه فوق C₀ ضریب ثابت، C_i ضرایب ترم‌های خطی و C_ij ضرایب ترم‌های درجه دوم است.

ویژگی­ های روش سطح پاسخ

روش سطح پاسخ یک روش ابتکاری در بهینه­ سازی است که پس از تخمین روابط رگرسیونی^[2] بین متغیرهای قابل کنترل و متغیر پاسخ، سعی در تعیین مقداری از متغیرهای کنترلی دارد، که بهترین مقدار پاسخ را دربرداشته باشند.

فرآیند بهینه‌سازی توسط RSM را می‌توان به سه مرحله تفکیک کرد. مرحله نخست، مشخص نمودن پارامترهای مستقل و سطوح آن‌ها می‌باشد. مرحله دوم، گزینش طرح آزمایشی و پیش بینی و ارزیا­بی رابطه مدل نهایی، بدست آوردن و رسم نمودار روش پاسخ به عنوان تابعی از پارامترهای مستقل و تعیین نقاط بهینه است. در گام­ های روش سطح پاسخ، از مدل­های رگرسیونی چندجمله­ ای خطی (درجه اول) و درجه دوم استفاده می­ شود. همچنین در روش سطح پاسخ مقادیر باقیمانده در مدل‌های رگرسیون دارای میانگین صفر و واریانس ثابت در فضای آزمایش ­ها هستند.

در مرحله بعد بایستی جهت مطلوب برای تغییرات متغیرهای ورودی تعیین شود تا در گام بعدی به بهینه ­سازی متغیر پاسخ پرداخته شود. روش سطح پاسخ از بردار گرادیان مربوط به سطح پاسخ، برای تعیین جهت بهینه­ سازی بهره می ­برد. در واقع این مرحله، تکنیک­ های ریاضی (نه آماری) به منظور بیشترین کاهش یا افزایش در تابع هدف (سطح پاسخ) به کار گرفته می ­شود. در مرحله­ ی پایانی با استفاده از مشتق گیری، روش سطح پاسخ به کشف نقطه بهینه در چند جمله­ ای درجه دوم می‌پردازد. همچنین می‌توان با استفاده از تحلیل ­های ریاضی نقطه بهینه به لحاظ محلی، مطلق یا زینی بودن را مشخص نمود.

به منظور بهینه­ سازی به روش سطح پاسخ از دو روش طراحی آزمایش مرکب مرکزی (CCD) و ماتریس باکس-بِنکن (BBM) استفاده می‌شود. روش طراحی آزمایش مرکب مرکزی متشکل از نقاط مرکزی، محوری و گوشه‌های یک مکعب است. در طراحی آزمایش به روش BBM نقاط طراحی شامل نقاط مرکزی و نقاط میانی یک مکعب می­باشد. موقعیت نقاط نمونه برای یک مسئله با سه متغیر ورودی تصادفی مطابق شکل 2 می‌باشد.

شکل2: نقاط طراحی آزمایش: الف) روش CDD، ب) روش BBM.

روش سطح پاسخ در مقایسه با روش ­های کلاسیک آماری یا روش­های بهینه­ سازی که یک متغیره می­ باشند، مزایای متعددی دارد. مزیت اصلی آن است که با تعداد آزمایش کم، اطلاعات زیادی ارائه می ­دهد.

در حقیقت روش ­های کلاسیک زمان ­بر بوده و به تعداد زیادی آزمایش برای بیان رفتار سیستم نیازمند می­ باشند. ثانیا در RSM می­توان اثر برهم کنش بین پارامترهای مستقل بر پاسخ را بررسی کرد. به ویژه در مواقعی که در سیستم، اختلاف یا ناسازگاری داشته باشیم، از RSM می­توان به خوبی بهره گرفت. از محدودیت­های این روش می­توان به احتمال گمراه کنندگی تغییرات بزرگ در فاکتورها و نیز عدم تعریف درست فاکتورهای بحرانی در بعضی موارد، اشاره نمود.

[1] Response Surface Method (RSM)

[2] Regression