خدمات

هیچ محصولی در سبد خرید نیست.

English

دو حلگر پرکابرد در نرم افزارهای اجزا محدود FEM | مقایسه ی حلگر صریح و ضمنی در آباکوس

آخرین بروزرسانی 1401.08.09

دو حلگر پرکابرد در نرم افزارهای اجزا محدود FEM

امروزه اکثر مهندسان از دو حلگر پرکاربرد در نرم افزارهای اجزا محدود (FEM) برای حل و تحلیل مسائل کاری و تحقیقاتی خود استفاده می کنند. در این نرم افزارها از روش های مختلف عددی برای انتگرال گیری و حل معادلات دیفرانسیل معمولی و PDE بهره گرفته می شود. روش های عددی که برای انتگرال گیری در دامنه زمان مورد استفاده قرار می گیرند، معروف به دو حلگر صریح و ضمنی می باشند.

برای مطالعه در مورد FEM می توانید به این سایت مراجعه کنید

دو حلگر پرکابرد در نرم افزارهای اجزا محدود FEM

حلگر صریح و ضمنی در FEM

 

روش حلگر ضمنی در نرم افزار های اجزا محدود (FEM)

روش ضمنی (Implicit) معادله ی دیفرانسیل را به مجموعه ای از معادلات خطی وابسته به مجهولات تقسیم و به صورت همزمان حل می کند. گرچه روند این کار خطی است اما در صورتی که دامنه زمان به فاصله های کوچکی از هم تقسیم  شود، می تواند مسائل غیر خطی را هم حل کند. اگر این فاصله های زمانی به اندازه کافی کوچک باشند، حل مساله ی غیر خطی می تواند همگرا شود.

در این روش برخلاف روش صریح با استفاده از اطلاعات موجود نمی توان حالت سیستم را محاسبه کرد بلکه باید مجموعه معادلاتی حل شود تا به پاسخ موردنظر دست پیدا کنیم. برای حل این معادلات نیاز به یک الگوریتم غیرخطی داریم که از روش نیوتن استفاده می شود.

نکته: حلگر ضمنی هم در حل مسائل استاتیکی کاربرد دارد و هم دینامیکی (با سرعت پایین، یعنی اگر هم نیرو دینامیکی داریم باید به آرامی اعمال شود تا حاصل ضرب جرم در شتاب قابل چشم پوشی باشد). گفتنی است یکی از مزایای روش ضمنی این است که نتایج نسبت به روش صریح دقیق تر بوده و به واقعیت نزدیک تر است.

واضح است که در حل ضمنی حجم محاسبات در یک بازه زمانی بسیار بیشتر از حل صریح است؛ چرا که باید مجموعه ای از معادلات حل شود و برای تحلیل های غیر خطی ممکن است چندین بار تکرار شود و زمان بیشتری می گیرد. در این روش برخلاف روش صریح محدودیتی برای بزرگ کردن بازه زمانی وجود ندارد؛ چون روش محاسبات به شیوه نیوتن انجام می شود و از طریق اصلاح و تکرار جواب حاصل می شود. پس بزرگ در نظر گرفتن بازه زمانی مشکلی ایجاد نمی کند.

شکل زیر نحوه محاسبه شیب خط در حل استاندارد یا ضمنی نشان داده شده است. همانطور که از شکل مشخص است اندازه گام زمانی تاثیر در دقت نتایج ندارد.

 

نمونه پروژه های مرتبط را ببینید

 

روش حلگر صریح در تحلیل اجزا محدود

حلگر صریح (explicit) از روش های پیشرو برای حل تمام مجهولات در هر گام زمانی به صورت تکراری استفاده می کند. 

نقطه ی قوت روش ضمنی حل معادلات دیفرانسیل در حوزه های مختلف مثل استاتیک، حالت پایدار، دامنه فرکانسی و مسائل گذرای دامنه زمان می باشد. در مقابل، روش صریح، تنها می تواند برای حل مسائل گذرا استفاده شود. با این وجود این روش یک ویژگی منحصر به فرد دارد و آن این است که بسیار پایدار است و قادر است مسائل غیرخطی را بخوبی حل کند.

هر دو روش ضمنی و صریح می توانند برای روش های عددی اجزا محدود(FE)، المان مرزی (BE)، هیدرودینامیک ذرات روان (SPH) و روش المان آزاد گالرکین (EFG) مورد استفاده قرار گیرند.

با وجود آنکه تمام این روش ها می توانند برای حل مسائل غیرخطی مورد استفاده قرار گیرند، تفاوت ها در راندمان عددی، پایداری حل و دقت از مسائل مهم در انتخاب هر یک از این روش ها در تحلیل های مختلف می باشد.

در روش حل صریح با استفاده از برونیابی حالت سیستم در نقطه بعد با استفاده از اطلاعات نقطه کنونی بدست می آید. در این روش محاسبات سختی زیادی ندارد چون اطلاعات مورد نیاز موجود است و به همین دلیل سرعت محاسبات بالاست.

در حلگر صریح نمی شود طول بازه های زمانی را افزایش داد چون از روش برونیابی استفاده می شود و این روش از داده هایی استفاده می کند که خارج از بازه ای است که درباره آن اطلاعات داریم. پس حتما خطا در حل صریح بیشتر می شود و این خطاها در بازه های زمانی با هم جمع شده و در نهایت تمام حل دچار خطا می شود.

البته نرم افزارهای اجزامحدود مثل آباکوس، انسیس و LS-Dyna بزرگترین گام زمانی که حل را دچار خطا نکند محاسبه می کند.

نکته: حلگر صریح فقط در تحلیل مسائل دینامیکی کاربرد دارد. به عنوان مثال پدیده های دینامیکی با سرعت بالا مثل نیروهای انفجاری یا ضربه ای یا مسائلی با برخورد های پیچیده و همینطور مسائلی که در آن شکست یا خرابی مواد در آن مطرح است و…

شکل زیر به صورت شماتیک نحوه محاسبه شیب خط با استفاده از روش صریح نشان داده شده است. همانطور که از شکل مشخص است با کاهش گام زمانی پایدار نتایج به نتایج تحلیلی نزدیک تر می شود.

پایداری در روش صریح

پیشتر گفتیم که در روش صریح طول بازه های زمانی کوچک است تا دچار خطا نشود. البته این پایداری بازه زمانی به طور مشروط پایدار است،ک ه حد پایداری در دو حالت (وجود و عدم وجود دمپینگ)به صورت زیر است:

 

برخلاف شواهد مهندسی، وارد کردن میرایی به حل، گام زمان پایدار (Stable Time Increment) را کاهش می دهد. در حل صریح مقدار کمی میرایی به شکل ویسکوزیته حجیم برای کنترل نوسانات فرکانس بالا وارد می شود. می توان با استفاده از فرمول بالا گام زمانی را تخمین زد. که در این فرمول L  طول کوچکترین المان و C سرعت موج تنش است.

نکته: فرمول بالا برای المان های میله ای استفاده می شود. برای المان های سه بعدی و دو بعدی از فرمول زیر استفاده برای محاسبه دقیق تر می توان استفاده کرد. تجربه نشان داده است برای تخمین اولیه فرمول بالا بسیار کارآمد است. لازم به ذکر است در نرم افزار های اجزا محدود اکثرا گام زمان پایدار در ابتدای تحلیل به کاربر نشان داده می شود. 

نکته: در نرم افزار آباکوس، 2 راه برای تخمین حد پایداری وجود دارد (شکل زیر)؛ المان به المان (Element-by-Element) و گلوبال (Global) که در ماژول Step قابل تنظیم است. روش المان به المان برای تحلیل های دمایی و مکانیکی و روش گلوبال برای تحلیل های مکانیکی استفاده می شود. تخمین المان به المان براساس کوچکترین اندازه گام زمانی در هر المان برای تحلیل های مکانیکی و حرارتی عمل می کند. این روش محافظه کارانه است و اندازه گام زمانی آن از حد پایداری واقعی کوچکتر است. حد پایداری واقعی براساس ماکزیمم فرکانس کل مدل محاسبه می شود. به طور کلی، قیودی مثل شرایط مرزی و تماس های سینماتیک بر فشرده شدن طیف مقدار ویژه (eigenvalue spectrum) تاثیر می گذارد و تخمین حد پایداری به روش المان به المان این موضوع را مدنظر قرار نمی دهد.

increment stable time estimation in Abaqus

Increment stable time estimation in Abaqus; Global & element-by-element

برخی از مشخصات حلگر صریح و ضمنی در نرم افزارهای FEM به‌صورت زیر است:

تا اینجا تا حد امکان خلاصه ای از هر دو حلگر ارائه شد. اما نکته های زیر برای اینکه چه حلگری را برای تحلیل تان استفاده کنید، می تواند مفید باشد.

  • با افزایش اندازه‌ی مسئله هزینه‌ی تحلیل در حلگر صریح به‌صورت خطی افزایش می‌یابد، اما درروش ضمنی به‌صورت نمایی یا حداقل با شیب بزرگتری نسبت به حلگر صریح افزایش می‌یابد. به همین دلیل هر چه اندازه‌ی سازه و مدل بزرگ می‌شود، استفاده از روش صریح مقرون‌به‌صرفه­ تر است. برای حل مسائل دارای ناپیوستگی، روش انتگرال‌گیری صریح بهتر از روش ضمنی است.
  • برای مسائلی که در آن انتشار تنش اهمیت دارد، حل صریح از نظر زمان حل به‌صرفه‌تر است.
  • در مسائل با تغییر شکل و چرخش بزرگ، مسائل دینامیکی با سرعت بالا، مسائل واماندگی و یا نرم شدگی در مواد و مسائل غیرخطی می‌توان از حل صریح استفاده کرد.
  • هرچند گام‌های زمانی در روش صریح کوچک‌تر از روش ضمنی است، اما به دلیل عدم نیاز به الگوریتم حل معادلات ماتریسی (تشکیل ماتریس جرم و سفتی و معکوس سازی آنها)، هزینه‌ی محاسبات بسیار کمتر از روش ضمنی است؛ بنابراین با افزایش تعداد درجات آزادی این روش مقرون‌به‌صرفه تر است.
  • اندازه‌ی گام زمانی در حل صریح محدود و به‌صورت مشروط پایدار است درحالی‌که در حلگر ضمنی شرط پایداری وجود ندارد و تنها دقت و صحت جواب گام زمانی را کنترل می‌کند. به بزرگترین گام زمانی پایدار اصطلاحا گام زمانی کورانت (Courant time step) گفته می شود. زمان کورانت به معنی مقدار زمان لازم برای عبور موج با سرعت صوت از یک المان است.
  • روش صریح نام‌های دیگری مثل روش باز (Open) و روش پیشگو (Predictor) دارد و روش ضمنی بانام‌هایی چون بسته (Closed) و اصلاح‌گر (Corrector) هم شناخته می‌شود.
  • در روش صریح بهتر است بازه های زمانی حل کوچک باشد تا بتواند روند حرکت موج را دنبال کند. زیرا اگر سرعت حرکت موج از سرعت حلگر بیشتر شود جواب های درستی حاصل نمی شود. این مشکل بیشتر در المان های کوچک رخ می دهد. مثلا موج تنش به سرعت از المان می گذرد و باید برای برطرف کردن این مشکل بازه زمانی براساس کوچکترین المان بدست آید. پس میتوان فهمید که مش بندی درست در روش صریح تاثیر زیادی بر درستی آنالیز دارد.
  • در حل صریح مجموع تمام نیروها باید با ضرب شتاب در جرم برابر باشد (قانون دوم نیوتن).

    Sum of all forces = mass x acceleration

  • اگر میزان سرعت/ نرخ کرنش بیشتر از 10متر ثانیه یا 10 واحد بر ثانیه باشد بهتر است از روش صریح استفاده شود.

کمی تخصصی تر!

در حل صریح هدف محاسبه شتاب است. در بیشتر موارد، ماتریس جرم lumped و قطری در نظر گرفته می شود. معکوس کردن یک ماتریس قطری راحت تر است (پیشنهاد می شود به کتاب های ریاضیات پیشرفته مهندسی مراجعه شود).

همچنین شتاب در گام n ام ، سرعت در گام n+1/2 و جابه جایی در گام n+1 محاسبه می شوند. 

انتخاب سابروتین با توجه به نوع حلگر در آباکوس

در نرم‌افزار  اجزا محدود Abaqus برای حل مسائل غیرخطی امکان استفاده از هر دو نوع حل­گر صریح و ضمنی وجود دارد. همچنین برای سابروتین نویسی تقریبا برای هر حلگر یک سابروتین درنظر گرفته شده است که بسیار مفید است. مثلا برای سابروتین نویسی رفتار ماده در این نرم افزار امکان استفاده از دو زیربرنامه ی UMAT و VUMAT وجود دارد.

در این زیربرنامه ها معادلات متشکله و سازگاری ماده تعریف می گردند. زیربرنامه‌ی UMAT برای حل ضمنی و زیربرنامه‌ی VUMAT برای حل صریح مورد استفاده قرار می‌گیرد. در زیربرنامه‌ی VUMAT از روش پیش رو- پس رو اویلر جهت محاسبات عددی استفاده می‌شود.

همانطور که اشاره شد این زیربرنامه، به تعداد تکرارهای کمتری برای رسیدن به جواب احتیاج دارد.

از طرفی نیازی به تعریف ماتریس ژاکوبی ندارد؛ البته لازم است برای آن حد پایداری کورانت-فردریش- لوی تعریف گردد. این حد پایداری محدوده‌ی گام زمانی را مشخص می‌کند که معرف زمان لازم برای انتشار موج است. مقدار گام زمانی باید کمتر از حد پایداری باشد.

هنگام استفاده از زیر برنامه‌ی VUMAT مقدار گام زمانی باید به‌صورت دستی در ماژول step تعریف شود.

عدم تعریف مقدار مناسب برای گام زمانی موجب ناپایداری عددی در حل صریح می‌شود. هنگامی‌که جواب‌ها ناپایدار می‌شوند، پاسخ زمانی متغیرهای حل، مثل جابه‌جایی، شتاب و … نوسانات زیادی خواهند داشت؛ در این حالت انرژی تعادل (Energy Balance) نیز به‌شدت تغییر می‌کند.

اگر مدل فقط شامل یک نوع ماده باشد، گام زمانی اولیه فقط به‌اندازه‌ی کوچک‌ترین المان بستگی دارد.

اما اگر مدل شامل چند نوع ماده باشد ولی اندازه‌ی المان‌ها برابر باشد، ماده‌ای که دارای بیشترین سرعت موج است گام زمانی اولیه را تعیین می‌کند. در مسائل غیرخطی، فرکانس مدل دائماً تغییر می‌کند، بنابراین حد پایداری نیز تغییر می‌کند.

همانطور که ذکر شد هر حلگر مزایا و معایبی دارد که تحلیلگر باید با استفاده از تجربه و متناسب با مساله بهترین و مناسبترین حلگر را انتخاب کند.

امیدوارم این مطلب مفیده بوده باشه. در انتها اگر سوال و نظری در مورد این موضوع دارید می توانید در قسمت نظرات ثبت کنید. در اولین فرصت پاسخ خواهم داد.

همچنین برا تنظیم جلسه منتورینگ و مشاوره می توانید در واتساپ پیغام دهید.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *